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高精度解多維問題的外推法

為了解決球面積分的問題，作者呂濤 這樣論述：

外推是重要的加速收斂技術，其應用遍及計算數學各個分支。有限元外推和分裂外推則是林群、呂濤開創的並行解多維問題的新技術，在國內外頗有影響；近年發展的基於區域分解的有限元分裂外推方法，則是把區域分解算法和分裂外推算法結合，成為並行解大型多維問題新技術；所謂τ外推則是多層網格法和外推結合；基於內估計的外推則是近年國外學者外推重要成果。這些內容還散見文獻，本書將反映這方面國際前沿工作。 第1章 Richardson外推與分裂外推的算法分析1.1 多項式外推法1.1.1 插值多項式與外推1.1.2 多項式外推算法及其推廣1.1.3 外推系數與外推算法的穩定性和收斂性1.1.4 后驗誤

差估計1.2 分裂外推法1.2.1 多變量漸近展開1.2.2 分裂外推的通推算法1.2.3 分裂外推的組合系數計算1.2.4 分裂外推算法的穩定性分析1.2.5 分裂外推的后驗誤差估計1.2.6 分數軍展開式與逐步齊次分裂外推消去法第2章 推廣Euler-Maclaurin求和公式與一維超奇積分的外推2.1 經典Euler-Maclaurin和公式與外推2.1.1 梯形公式的Euler-Maclaurin漸近展開2.1.2 帶偏差的梯形公式的Euler-Maclaurin漸近展開2.2 基於Mellin變換的Euler-Maclaurin展開式在奇異與弱奇異積分的應用2.2.1 Riemann

-Zeta函數2.2.2 Mellin變換及其逆變換2.2.3 弱奇異積分的Euler-Maclaurin展開式2.2.4 帶參數的弱奇異積分的Euler-Maclaurin展開式2.2.5 帶參數的奇異積分的Euler-Maclaurin展開式2.3 超奇積分的Euler-Maclaurin展開式及其外推2.3.1 超奇積分的Hadamard有限部分及其性質2.3.2 超奇積分的Mellin變換2.3.3 在[0，∞)區間上的超奇積分的Euler-Maclaurin展開式2.3.4 有限區間上的奇異和超奇積分的Euler-Maclaurin展開式2.3.5 有任意代數端點奇性函數的積分及其E

uler-Maclaurin展開式2.4 帶參數的超奇積分的數值方法及其漸近展開2.4.1 帶參數的超奇積分的推廣Euler-Maclaurin漸近展開2.4.2 超奇積分的推廣Romberg外推2.5 變數替換方法與收斂的加速2.5.1 sinn變換方法2.5.2 雙軍變換方法2.5.3 反常積分的變換方法第3章 多維積分的Euler-Maclaurin展開式與分裂外推算法3.1 多維積分的Euler-Maclaurin展開式3.1.1 多維偏矩形積分公式與多參數Euler-Maclaurin展開式3.1.2 分裂外推法及其通推算法3.1.3 變換方法與收斂加速3.2 多維弱奇異積分的數值算

法——變量替換法3.2.1 面型弱奇異積分3.2.2 多維弱奇異積分的Du.y轉換法3.3 多維弱奇異積分的分裂外推法3.3.1 正方體上的多維弱奇異積分的多變量漸近展開式3.3.2 多維單純形區域上的積分3.3.3 多維曲邊區域上的積分3.3.4 多維弱奇異積分的分裂外推法的數值試驗3.4 多維齊次函數的弱奇異積分的外推法3.4.1 多維積分的單參數漸近展開3.4.2 多維齊次函數的定義與積方法3.4.3 齊次弱奇異函數的近似積與漸近展開3.4.4 積分變換與收斂加速3.4.5 算例3.5 曲面上積分的高精度算法3.5.1 轉換曲面積分到球面積分3.5.2 球面數值積分與Atkinson變換

3.5.3 光滑積分的算例3.5.4 奇點的處理3.5.5 奇異積分的算例3.5.6 Sidi變換與曲面積分的加速收斂方法3.5.7 Sidi方法的進一步改善3.6 奇點在區域內部的多維弱奇積分的分裂外推3.6.1 多維位勢型積分與Du.y變換方法3.6.2 奇點在原點的多維弱奇異積分的多參數漸近展開3.6.3 奇點在任意內點的多維弱奇異積分的多參數漸近展開第4章 基於三角剖分的有限元外推法4.1 變系數橢圓型偏微分方程的線性有限元近似的外推4.1.1 三角形區域上積分的積方法與誤差的漸近展開4.1.2 二階橢圓型偏微分方程的有限元近似4.1.3 分片一致剖分下的線性有限元近似的誤差與漸近展開

4.2 二次有限元近似解的漸近展開與外推4.2.1 Poisson方程的Dirichlet問題的二次有限元解與外推4.2.2 輔助引理及其證明4.2.3 定理 4.2.1 的證明4.2.4 漸近后驗估計與算例4.3 一類擬線性橢圓型偏微分方程有限元近似的漸近展開與外推4.3.1 一類擬線性橢圓型偏微分方程有限元近似的L∞范數估計4.3.2 一類擬線性橢圓型偏微分方程的有限元誤差的漸近展開與外推第5章 橢圓型偏微分方程的等參多線性的有限元分裂外推算法5.1 二階橢圓型方程的有限元近似與分裂外推5.1.1 線性橢圓型偏微分方程的Dirichlet問題及其有限元近似5.1.2 線性問題有限元誤差的多

參數漸近展開5.1.3 全局細網格點的高精度算法5.1.4 算例5.2 特征值問題的有限元近似與分裂外推5.2.1 問題的提出5.2.2 特征值問題的有限元誤差的多參數漸近展開5.2.3 算例5.3 擬線性橢圓型偏微分方程的有限元誤差的多參數漸近展開5.3.1 一類擬線性橢圓型偏微分方程的有限元方法及其誤差的多參數漸近展開5.3.2 算例第6章 基於區域分解的多二次等參有限元分裂外推方法6.1 二階橢圓型偏微分方程組的多二次等參有限元的分裂外推方法6.1.1 二階橢圓型方程組及其有限元近似方程6.1.2 Hermite二次內插與相關的積公式6.1.3 有限元誤差的多參數漸近展開6.1.4 算法

和算例6.2 擬線性二階橢圓型偏微分方程的多二次等參有限元的分裂外推方法6.2.1 擬線性二階橢圓型方程的多二次等參有限元方法6.2.2 d二次等參有限元誤差的多參數漸近展開6.2.3 分裂外推與后驗估計6.2.4 算例6.3 拋物型偏微分方程的多二次等參有限元的分裂外推方法6.3.1 二階線性拋物型偏微分方程的多二次等參有限元法6.3.2 半離散等參多二次有限元誤差的多參數漸近展開6.3.3 全離散等參多二次有限元誤差的多參數漸近展開6.3.4 全離散有限元解的分裂外推法與后驗誤差估計6.3.5 算例6.4 二階線性雙曲型偏微分方程的多二次等參有限元的分裂外推方法6.4.1 二階線性雙曲型偏

微分方程及其離散方法6.4.2 半離散有限元誤差的多參數漸近展開6.4.3 全離散有限元誤差的多參數漸近展開6.4.4 全局細網格的分裂外推算法與算例第7章 有限差分法的高精度外推與校正法7.1 差分方程近似解的分裂外推算法7.1.1 差分方程的構造與離散極大值原理7.1.2 光滑邊界區域上差分近似解的誤差的多參數漸近展開7.1.3 長方體上差分近似解的誤差的多參數漸近展開7.1.4 算例7.2 兩點邊值問題的差分方程解的高精度校正法7.2.1 一維問題的高精度差分格式7.2.2 Sturm-Liouville特征值問題的四階差分法7.2.3 擬線性兩點邊值問題的四階差分法7.3 多維橢圓型微

分方程的高精度校正法7.3.1 二維Laplace算子的差分格式7.3.2 二維半線性問題的高精度校正法7.3.3 二維特征值問題的高精度校正法7.3.4 二維變系數散度型橢圓型偏微分方程的高精度校正法7.3.5 二維變系數散度型橢圓型偏微分方程的特征值問題的高精度校正法7.3.6 二維擬線性散度型橢圓型偏微分方程的高精度校正法7.3.7 多維散度型橢圓型偏微分方程的高精度校正法7.3.8 算例7.4 L形區域特征值問題的高精度校正法7.4.1 L形區域特征值問題7.4.2 L形區域特征值問題的九點差分格式與特征值估計7.4.3 L形區域特征值問題的校正方法7.5 基於Laplace反演的發展

方程的高精度校正方法7.5.1 Laplace變換及其數值反演7.5.2 基於Zakian反演的雙曲型方程的高精度校正方法7.5.3 基於Zakian反演的一類Volterra型積微方程的高精度校正方法7.6 有限體積法及其分裂外推7.6.1 數值解二階橢圓型偏微分方程的有限體積法7.6.2 有限體積法的分裂外推算例第8章 基於多網格的τ外推法8.1 二網格法的τ外推8.1.1 多網格法的基本思想8.1.2 二網格的算法8.1.3 二層網格算法的磨光性質與逼近性質8.1.4 二層網格算法的收斂性證明8.1.5 二網格迭代的磨光性質的證明8.1.6 二網格迭代的逼近性質的證明8.1.7 二網格迭

代的τ外推8.2 多層網格法的τ外推8.2.1 三網格的V-循環算法8.2.2 三網格算法的收斂性證明8.2.3 輔助定理及其證明8.2.4 一類新的磨光過程8.2.5 τ外推的高精度證明8.2.6 算例第9章 基於內估計的有限元外推9.1 有限元的內估計9.1.1 有限元的負范數估計9.1.2 有限元子空間的內估計性質9.1.3 有限元誤差的局部漸近展開不等式9.2 基於內估計的一類非標准的有限元外推9.2.1 相似子空間的定義9.2.2 常系數二階橢圓型偏微分方程的局部有限元外推9.2.3 變系數二階橢圓型偏微分方程的局部有限元外推9.3 局部相似子空間的構造9.3.1 一般描述9.3.2

平面三角形單元的嵌套子空間9.3.3 平面矩形元與三維元的子空間9.4 對特殊邊值問題的應用9.4.1 對Neumann問題的應用9.4.2 對Dirichlet邊值問題的應用第10章 稀疏網格法與組合技巧10.1 稀疏網格法10.1.1 有限元空間的多水平分裂10.1.2 二維稀疏網10.1.3 高維稀疏網10.1.4 稀疏網上的有限元方法10.2 組合技巧10.2.1 二維稀疏網組合技巧的分裂形式10.2.2 二維稀疏網組合技巧的一般形式10.2.3 三維組合技巧10.2.4 滿網格與稀疏組合網格的數值比較10.2.5 組合技巧、分裂外推和稀疏網方法的數值結果比較10.3 多維矩形積公式

的組合方法10.3.1 多元乘積型矩形積公式10.3.2 組合方法10.3.3 算例評注參考文獻后記索引叢書

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